高中数学错位相减题型

错位

错位相减法是种常用的数列求和方法， 形?anbn?的数列，其中{an}为等数列，?bn?为等比数列;别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公q，即qSn;然后错一位，两相减可。适用于一个等差数列和个等比数对应项相乘构成的数求

典型例题:

例1. (2012年四川文12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，数??0，

?a1an?S1?Sn对一切正整数n

(?)求数列{an}的通项公式;

(?)设a1?0，??100，当n为何值时，

2

1

的前n项

【答案】解:(?)取n=1，得?a1?2S1=2a1，?a1(?a1?2)?0。

1

若a1=0，则S1=0, 当n?2时，an=Sn?Sn?1?0。

若a1?0，则a1?

2

?

，

有

当n?2时，2an?

2

?

?Sn，2an?1?

2n

2

?

?Sn?1，

两个相减得:an?2an?1，?an?

?

。?数列{an}公比是2的等比

综上所述，若a1=0, 则 an?0;若a1?0，则an?(?)当

a1?0且??100时，令bn?lg

2n

?

。

2

1

，则bn?2?nlg2。 an

?{bn}是单调递

则 b1b2b3…b6=lg

100100

?lg?lg1?0;

6426

100100?lg?lg1?0。 7

1282

当n?7时，bn?b7=lg

?数列{lg

最大。

11

}的前6项的和最大，即当n=6时，数列{lg的前n项

【考点】等差数列、等比数、对数基础知识，分类与整合、化归与转化等学思想的

用。

【解析】(I)由题意，n=1时，由已知可a1(?a1?2)?0，分类讨论:由a1=0及a1?0，结合数列的和

(II)由a1?0??100时，令bn?lg求和的

例2. (2012年天津理13分)已知{an}是

3

前n项和为Sn，{bn}是等比数列,且a1=b1=2，a4+b4=27，S4?b4=10. (?)

(?)记Tn=anb1+an?1b2+?+a1bn，n?N，证明Tn+12=?2an+10bn(n?N). 【答案】解:(1)等差数列的公差d，等比数列的公比

由a1=b1=2，得a4?2?3d，b4?2q，s4?8?6d。 由条件a4+b4=27，S4?b4=10得方程

3

??d?3 ?2?3d?2q?27

，解

q?2???8?6d?2q?10

1

，则bn?2?nlg2，结合数列的单调

++

3

，bn?2，n?N。 ?an?3n?1

(?)证明:由(1)得，Tn?2an?2an?1?2an?2???2a1 ?;[

?2Tn?2an?2an?1?2an?2???2由?,?得，

2

3

4

4

n+1

2

3

n

n+

a1 ?;

Tn??2an+22?an?an?1??23?an?1?an?2??24?an?2?an?3???+

2n?a2?a1??2a1bn

??2an+22?3?23?3?24?3??+2n?3?2?2bn=?2an+4bn+3??

22?23?24??+2n?=?2an+4bn+3?

4??1?2n?1?1?2

=?2an+4bn?12+6?2n=?2an+4bn+6bn?12

=?2an+10bn?12

?Tn+12=?2an+10bn(n?N)。

【考点】等差数列与等比数列的综合;等差数列等比数列的通项式。 【分析】(?)直接设首项和公差，根据条件求出首项公差，即可求出通

(?)写出Tn的达式，借助于错位相

还可用数学

例3. (2012年天津市

文13分)已知{an}是

5

是等比数列,且a1=b1=2，a4+b4=27，S4?b4=10. (?)求数列{an}与{bn}的通项公式;

(?)记Tn=a1b1+a2b2+?+ana1bn，n?N，证明Tn?8=an?1bn+1(n?N，n2)。 【答案】解:(1)设等差数列的公差d，等比数列的公比

由a1=b1=2，得a4?2?3d，b4?2q，s4?8?6d。 由条件a4+b4=27，S4?b4=10得方程

3

??d?3 ?2?3d?2q?27

，解

q?2???8?6d?2q?10

+

++

3

，bn?2，n?N。 ?an?3n?1

(?)证明:由(1)得，Tn?2?2?5?2?8?2????3n?1?2 ?;

2

3

n

n+

?2Tn?2?2?5?2?8?2????3n?1?2

2

6

3

4

n+1

?;

由?,?得，

Tn??2?2??22?3?23?3?24?3??+2n?3???3n?1?2n+1

=?4+?3n?1?2n+1?3??22?23?24??+2n?=?4+?3n?1?2

n+1

?3?

4??1?2n?1?1?2

=?4+?3n?1?2n+1+12?3?2n+1

=8+?3n?4?=an?1bn+1+8

?Tn?8=an?1bn+1(n?N，n2)。

+

【考点】等差数列与等比数列的综合;等差数列等比数列的通项式。 【分析】(?)直接设出项和公差，据条件求出首项公差，即可求出通

(?)写出Tn的达式，借助于错位相

还可用数学

例4. (2012年东省理14分)设数列?an?的前n项和

n?12Sn?an?1?2?1n,?N?且,a1,a2?5,a3

7

(1)求a1的值;(2)求列?an?的通项公式。(3)证明:对一切整数n，

1113?????. a1a2an2

【答案】解:(1)?2Sn?an?1?2

n?1

?1,n?N?,且a1,a2?5,a3成

ìì2S1=2a1=a2-a3a1=1??????

??í2S2=2a1+2a2=a3-7 ，解得?ía2=5。 ??????2(a+5)=a+a213???a319?

即a1=1。 (2)?2Sn?an?1?2

n?1

?1………………………………………………?

? 2Sn?1?an?2?1……………………………………………………? ?,?，得an+1=3an+2

n

n

(n 2)。

n

?a2=5=3a1+2=5，?an+1=3an+2?

(n N*)。

an+13an

8

=?nn+12221an+13a

，n+1+1=?(n2222n

1)。

ana133}成首项为，比为的等

a=3-2?n。?。 。 +1=()=()-1nnn

2222

?数列{(3)?an-3

时，

?an?3

n-1

n-1

=3n-2n-3n-1=2?3n-12n=2(3n-1-2n-1) 0(当n=1

0， ?

11

,n-1(当且仅当n=1时，取等号)。 an3

11?()n

111111?3[1?(1)n]?3??????1??2???n?1?

a1a2an3332321?3

。

【考点】数列与不等式的综合，等数列和等比

9

n?1

?1中，令分别令n=1，2，由a1,a2?5,a3成等

到关于a1,a2,a3三元方程，解之即可可

(2)由2Sn?an?1?2?1，2Sn?1?an?2?1，两相减即可

n?1

n

an+13an

+1=?2n+12n2

，可知，数列{1)

ana133

}成首项为，公比为的

从而可求数列?an?的通项公式。

(3)

仅

当

n=1

n-1

，证得其大于

，

取

等

号

10

n-1

0，即

)

11

,n-1(当且an3

因

此

时。

11?()n

111111?3[1?(1)n]?3。 ?????1??2???n?1?

1a1a2an3332321?3

例5. (2012年广

sn，数列?sn?的

Tn?2Sn?n2,n?N*(

(1)

(2)求数列?an?的通项公式(

【答案】解:(1)

?T1?S1?a1，?a1?2a1?1，解得a1?1。 (2)?Tn?2Sn?n

?，

当n?2时， Tn?1?2Sn?1?(n?1) ?，

2

2

11

篇二:错位

例1. 设数列?an?前n项sn，数列?sn?的前n项和为?Tn?，满

Tn?2Sn?n2,n?N*(

(1)求a1的值;(2)求数列?an?的通

例2. 已知数列{an}的n项和Sn??n2?kn(其中k?N?)，且Sn

(1)确定常数k，并

的前n

212

例3. 已知数列?an?的前n和Sn?kcn?k(其中c，k常数)，

a2=4，a6=8a3

(1)求an;(2)数列?nan?的前n项

例8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2?n，n?N,，数列{bn}满足an=4log2bn，3，n?N,.

(1)求an，bn;(2)求数列{an?bn}的前n

1.已知正项等差数列?an?

(?)求?an?通项公式; (?)

an

的前n项和为Tn，求Tn. 3n

12

2.在数列{an}中，已知a1?,

1an?11

?，bn?2?3log1an(n?N*). 4an44

(1)求数列{an}通项公; (2)求证:数列{bn}

(3)设数列{cn}满足cn?an?bn，求?cn?的n项和Sn. 3(已知数列?bn?前n和Sn?n2?n.数列?an?满

3

212

an?4?(bn?2)(n?N?)，数列?cn?满足cn?anbn。

(1)求数列?an?和数列?bn?的通

(2)求数列?cn?的前n项和Tn;

4. 设Sn为数列?an?的前n项和，对任意

Sn??m?1??man(m为常数，且m?0)(

*

，都有

(1)求证:数?an?是等比

(2)设数列?an?的公比q?f?m?，数列?bn?满足b1?2a1,bn?f?bn?1?

(n?2，n?N*)，求数列?bn?的通

?2n?1?

(3)在满足(2)的条下，求数列??的前n

13

?bn?

篇三:高中数学大题规范解答-全得分列之(五)利用错位相减法解决数列求的答题模

数列求和是高考的重点，题型以解答题为，主要考查等差、等比数列的求和公式，错位相减法及裂项相消求和;数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起，考查容较为全面，在考查基运算、基本能力的基础上又注考查学生析问题、解决问题能

“大题规范解答——得全分”系列之(五)

利用错位相减解决数列求和的答

1[典例] (2012江西高考?满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn,,n2，kn，k?N*，且2

Sn的

(1)确定

?9,2an?(2)

[教你

]

1(审条件，挖解题信息 观察1Sn关于n的二次数―?Sn,,n2，knSn的最值为8 ???????? 2条

当n,k时，Sn取得最大值

2(审结

观察所应建立关Sn的大值为8，可求Sn的

14

求k的值及an――――??????? 于k的方程即Sk,8，k,4求结论

1Sn,,n2，4n 2

3(建联

根据已知

与Sn的

9验证n,1时，―――――?a,,n nan

1(审条件，挖解题信息 ―――――?使用条件

22

?9,2an?观察9―?an,n及数列? 2条

?9,2an?可化简

9,2ann 22

2(审结

分析通项n,1的特点?9,2an?观察所2―?求数列??的前n项和Tn???????? 2求结论??n

可利用

3(建联

――――?

同乘以

2

――――?

15

错位相减111(1)当n,k?N*时，Sn,,n2，kn取得最大值，即8,Sk,,k2，k2k2，故k2,16，222

k,4.

17当n,1时，a1,S1,,4， (3分) 22

9当n?2时，an,Sn,Sn,1,n. (6分) 2

9当n,1时，上

9,2ann(2)因为,, 22

n,123n所以Tn,1，，，?，,，,? (7分) 2222

n,13n所以2Tn,2，2?，,,，? 222

n，211n1n?,?:2Tn,Tn,2，1，，?，,,,4,,4,, (11分) 222222

n，2故Tn,4,. (12分) 2

,,[

79利用an,Sn,Sn,1时，

错位相减时，易漏项或求错项数.

—————————————————[

板]————————————

―?

―?

―?

16

17

人教版高中数学《数列求和方法3——错位相减》教学设计(精品)

人教版高中数学《数列求和方法3——错

位相减》教

教学设计

数列求和方

一.

本节内容《普高中课程标准实验教科书数学》教A版必修5第二章中，学生在学习了等差数和等比数列的通项公式以及前n项公式的基础上，学习了和方法:公式法、分组求和法后的第3种求和方法，主要体现数中的转思想。即将不能直接求和的问通过错位相，转化为能用等比求和问

重点:会用错位相减法通项为等数列与等比数列对应项乘积的数

难点:错位相减后项数、号问题，以及对转化数学思

二.

1.知识与技能:会用错位减求通为等差数列与等比数列对应项乘积的数

2.过程与方法:通过两等式错位相减，将不能求和问题转化成能用等比数列求和的问题，在探究的过程让学生体会数学

化思想。

3.情感、态度与价值观:问题导练过程中，培养学生的探究能力、化归能

三.学情分析

本节课之前学已经学了等差和等比数列前n项和公式，数列求和法:公式法、分求法，在推导等比数列前n项和公式时，错位相减法已经使用过，本节课需要再次阅读本，探究方法，通过学生自己努力学会错位相减的流程，但是错位相减的、错相减后的项数及符号需要在学生尝练习、巩练习之后通老师的引导、点评才能理解握。同时转化数学思想更需要在老师的启发中以理

四.

数列求和方法3---错位相减，需要学生在不的尝试练习、巩练习中得到掌握，此方法在等数列前n项公式推导过程中已运用过，按照知识

生、发展过程学生的思规律，本节课首先给出用公式法和分组求和能够解决的两道练题，对前一节内容进行复习，然后对第一道练题目进行变式，设置障碍，创设情境，把学生的意力引到再读课本，探究方法，出课题，再次尝试，提炼方法，限训练，试题，学生在层层练习中掌握方法，整个设过程中学是学习的主体，老师仅仅是帮助者、服务者，这样设计重视了旧知识实质性联系，让重点知识重要

方法得到螺旋

五.教学

(一)回

1.让学生回顾已经学的数列和方法:(1)公式法;(2)

2.出示练习:选适当的方法进行数

23n?1 (1).S?1?x?x?x???x(x?0

2 (2).S?11?21?31???[n?(1)n]

学生:思

教师:进行

3.出示(1)的变式:

(x?0且x?1)

老师:能用公式法、分组求和法解决这个

学生:积极思考，急于想解决却又没

【设计意图:通过复习，变式设置障碍，创设境，学生急切用已经学过的知识解决新问题，但是学生肯会碰壁的.从而

(二)方

1.阅读高中数学课本必五P55,等比数列前n项和公式的推到过

2.要求学生找出推过程中的两个很重要

学生:阅读3分钟，极回答两个很重要的做

老师:点评、引导。引出题，并书课题:数列求和方法3---

【设计意图:从旧知识出发，探究出新的内容，使新旧知建立实质性联系。 培养了学生重视课本学习，认真阅读本，探究课本隐的深层内容、解题法、数学思想的习

(三)尝试探

1.让学生模仿等比数列n项和

(x?0且x?1)

学生:学生积极尝(1名学生上黑板

老师:巡回

2. 针对黑板上生解题过程，启发提

1式如何得到?2式, (1)由?

(2)如何错相减,怎么规范

(3)错位相后的项的符号对

(4)对错位相减的结果如何求和,有

老师:启发、

学生:积极

3.思考问题:(小组讨论3分钟)

(1)数列通项公式足什结构(特征)的时候可以用错

(2)错位相减过程中注意什么,易错点

(3)错位相减过程体了一个很重要的数学思想

老师:让学生小组讨论，启发、引导，提问个

学生:小组讨

【设计意图:生是学习的主体，让学生在试、探究的过程中提炼方法，教师仅仅在生学习过程中起到引导、服务作用.让学生充分暴露解题过程中的错误，通过师的点、引导，使学生学会错相减操作流程，规范书写，明易错点，体其中蕴含的数学思方

(四)再

1.出示练习，时规范训练(6

已知数列?an?的通项公

学生:积极训练.(1名学生在黑板

老师:巡回

2. 针对黑板上生解题过程，启发提

(1)该数列通项公式结构满足错位相减法的

(2)如何错位相,书写格式上应注

(3)错位相减后的果的符有没有问题,那些项可以用等比

有多少项,

老师:针对黑板题过程，提问个

学生:积极思考，积极回答问题.

【设计意图:通过对方法的再次应用，考察他对判断通项的构，错位相减的流程、规范书、易错点的握情况，进一步

(五)互

1.要求:2人一组，互相出题，测试对方.(6分钟后，抽3名学生的成果在展台上展，比较谁的程书写规范，易

学生:互相

老师:巡回

2(展示3名学生的成果:

(1)出的题目中数列项的结构满足错位相减的

(2)错位相减的项数和符号正

(3)错位相的书写格式是否

老师:针对这3名学生的解题过程提问，让学生回答，进行点评、表扬. 学生:看展台上解题过程，积

【设计意图:互命试题，可以让学积极参与到出题、训练过程中，考察了对能用错位相减法和的数列通项结构的判断，又考察了错相的流程、易错点的握，过展示成果，进一步养学生规范书写的良好习

(六)课

1.错位相减法解数列和的一般步骤是什么,(

钟) 老师:让学生讨论3分钟后，启发提问个

(1)判断

2式如何规范书写, (2)乘公比，乘公比后

(3)错位相减，如何相减,相减结果的符号何判断,相减后结果中能用等比列求和的项

(4)求和，化整理，出Tn,要细心计算，

学生:积极回答.

2.错位相减法体现一个很重要的数学思想

老师:

学生:积极回答.

【设计意图:通过启发、提问个别生，归纳错位相减法求和的一步骤和数学思想方法 ，使学生在错位相减的应用以及转化的数学思想法理解进一步得提高，同时，培养了学生题后反思、总结的良好习

(七)作

1.求和:Sn?1?2x?3x2?????nxn?1(x?R)

2.同步

《数列求和方法3------错位相减》

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版修5第二章中，学在学习了等差数列和等比数列的通项公以及前n项和式基础上，学习数求和方法:公式法、组

法后的第3种求和方法，错位相减法诸多方法最重要也最难掌握的一种求和法，突出了转

本节课的重点:会用错位相减求通项为等差数与等比数列对项乘积数列的前n项和;难点:错位相减后项数、符号问题

本节课首先给用公式法和分组求和法能够决的两道练习题，对前一节内容进行复，然后对第一道练习题目进行式，设置障碍，创设情境，把学生的注意力引到读课本，探究方法，引出课题，再次试，提炼方法，限时训练，命试题，学生在层层练习中握

人教版高中数学《数列求和方法3——错位相减》教学设计(精品)

教学设计

数列求和方

一. 教学内容分析

本节内容是《通高课程标准实验教科书数学》人教A 版必修5第二章中，学生在学习了等差数列等比数列的通项公式以及前n 项公式的基础上，学习求和方法：公式法、分组求和法后的3种求和方法，主要体现数中的化思想。即将不能直接求和的题通过错位减，转化为能用等比求的

重点：会用错位相减法求通为等差列与等比数列对应项乘积的数

难点：错位相减后的数、符问题，以及对转化数学

二. 教学目标分析

1. 知识与技能:会用错位减求通项等差数列与等比数列对应项乘积的数前n 项

2. 过程与方法：通过两等式错位相减，将能求和的问转化成能用等比数列求和的题，在探的过程中让学生会数学的转化思

3. 情感、态度与价值观：在题导练过程中，培养学生的探究能力、化归能、运算能

三. 学情分析

本节课之前学生已学习了差和等比数列前n 项和公式，数列求和法：公式法、分组和，在推导等比数列前n 项和公式时，错位相减法已经使用过，本节课需要再次阅读本，探究方法，通过学生自己努力学会错位相减的流程，但是错位相减目的、错相减后的项数及符号需要在学生尝练习、固练习之后过老师的引导、点评才能理掌握。同时转的数学思想更需要在老师的启发得以

四. 教学策略分析

数列求和方法3---错位相减，需要学生在不断尝试练习、巩固习中得到掌握，此方法在等比列前n 项公式推导过程中已运用过，按照知

生、发展过程和学生思维规，本节课首先给出用公式法和分组求和法能够解的两道练习题，对前节容进行复习，然后对第一道练习题目进行式，设置障碍，创设情境，把学生的注意力引到再读本，探究方法，引出课题，再次试，提炼方法，限时训练，互命试题，学生在练习中握方法，整个设计过程中学生是学习的体，老师仅是帮助者、务者，这样设计重视了新旧知实质性联系，让重知识和重要数学思想方法得到螺旋巩固

五. 教学

（一）回顾

1. 让学生回顾已经学的数列和方法：（1）公式法；（2）

2. 出示练习：选适当的方法进行数

23n -1 (1). S =1+x +x +x + +x (x ≠0且x ≠1)

2 (2). S =11+21+31+ +[n +(1) n ]

学生：思

教师：进行

3. 出示（1）的变式：

（x ≠0且x ≠1）

老师：能用公式法、组求和法解决这个

学生：积极思考，

【设计意图：通过复习，变式设置障碍，创设情，学生急切想用经学过的知识解决新问题，是学生肯定碰壁的. 从而

（二）方法

1. 阅读高中数学课本必修P 55, 等比数列前n 项和公式的推到程（3分

2. 要求学生找出推过程中的两个很重

学生：阅读3分钟，积回答两个很重要的做

老师：点评、引导。引出题，并

【设计意图：从旧知识出发，探究出新的内容，使新旧知识立实质性联系。 养了学生重视课本学习，认真阅读课，探究课本中含深层内容、解题法、数学思想的习

（三）尝试探究 形成方法 248

1. 让学生模仿等比数列前n 项和式的推导的方法，尝试（1）的变

（x ≠0且x ≠1）

学生：学生积极尝试（1名学生上黑板

老师：巡回看

2. 针对黑板上学解题过程，启发提

1式如何得到○2式？ （1）由○

（2）如何错位

（3）错位相减

（4）对错位相减后结果如何求和？有

老师：启发、引

学生：积极思

3. 思考问题：（小组讨论3分钟）

(1)数列通项公式满什么构（特征）的时候可以用错

（2）错位相减过程中注意什么？易错

（3）错位相减过程体现一个很重要的数学思

老师：让学生小组讨论，启发、引导，提问

学生：小组讨论

【设计意图:学生学习的主体，让学生在尝试、探究的过程中提炼方法，教师仅仅在学学习过程中起到引导、服务的用. 让学生充分暴露解题过程中的错误，通过师的点、引导，使学生学会位相的操作流程，规范书写，明易错点，会其中蕴含的数学想

（四）再次

1. 出示练习，

已知数列{a n }的通项公式为a n =(2n -1) 3n ，求数列{a n }前n 项和S n .

学生：积极训练. （1名学生在黑板

老师：巡回

2. 针对黑板上学解题过程，启发提

（1）该数列通项公式结构满足错位相减法

（2）如何错位相减？书写格式上应注

（3）错位相减后的结的符号没有问题？那些项可以用等

有多少项？

老师：针对黑板解

学生：积极思

【设计意图:通过对方法的再次应用，考察他们判断通项的结，错位相减的流程、规范书、易错点掌握情况，进一体会转化的数学思

（五）互命

1. 要求：2人一组，互相出题，测试对方.(6分钟后，抽3名学生的成果在展台上展，比较谁过程书写规范，错的地方有没有出

学生：互相

老师：巡回

2．展示3

（1）出的题目中数列通的结构满足错位相减

（2）错位相减

（3）错位相减

老师：针对这3名学生的解题过程提问，学生回答，进行点评、表扬. 学生：看展台上解题过程，极回答老师的提

【设计意图：互命试题，可以让学生积参与到出题、训练过程中，既考了对能用错位相减法求的数列通项结构的判断，又考察了错位减流程、易错点的把，过展示成果，进一步养学生规范书写的良好习

（六）课堂

1. 错位相减法解决数列求和的一般骤是什么？（小组讨论3分钟） 老师：让学生论3分钟后，发提问个别学

（1）判断

2式如何规范书写？ （2）乘公比，乘公比

（3）错位相减，如何相减？相减后果的符号何判断？相减后结果中能用等数列求和的项个数如何判

（4）求和，化简整

学生：积极回答.

2. 错位相减法体现一个很重要的数学思

老师：提

学生：积极回答.

【设计意图：通过启发、提问个别学生，归纳错位相减法求和的一般步和数学思想方法 ，使生在错位相减的应用以及转化的数学思想法理解进一步得到高，同时，培养了学生解后反思、总结的良好习

（七）作业

1. 求和：S n =1+2x +3x 2+???+nx n -1(x ∈R )

2. 同步

《数列求和方法3------错位相减》课例点评

本节课是《普高中程标准实验教科书数学》人教A 版必修5第二章中，学生在学习了等差数和等比数列的通项公式以及前n 项和公式的基础上，学习数列求和方法：公式法、组求和后的第3种求和方法，错相减是诸多方法中最重要也最难握的一种求方法，突出了转化的学

本节课的重点:会用错位相减求通项为等差数列等比数列对应乘积数列的前n 项和；难：错位相减的项数、符号问以及转化思想的应

本节课首先给出用式法和分组求和法能够解决两道练习题，对前一节内容进行复习，后对第一道练习题目进行变，设置障碍，创设情境，把学生的注意力引到再课本，探究方法，引出课题，次尝，提炼方法，限时训练，命试题，学生在层层练习中握

高中数学数列求和-错位相减法

错位相减法是一种常用的数列求和方法, 应于等比数列与等差数列相乘的形式. 形如An=BnCn,其Bn 为等差数列,Cn 为等比数列；分别出Sn, 再把所有式子同乘以比数列的公比, 即kSn ；然错一位, 两式相

目录

简介

举例

错位相减法解题

编辑本段简介

错位相减较常用在数列的通项表现为一等差数列与一个等比数列的乘, 如an=(2n-1)*2^(n-1),其中2n-1部分以理解为等差数列,2^(n-1)部分可以解为等比数列. 编辑段

例如：求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0） 当x=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2； 当x 不等于1时,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)； ∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n； 两式相减

编辑本段

错位相减法是求和的种解题方. 在题目的类型中：一般是a 前面的系数和a 的指数是相等的情下

（2）, 得到等式（3）如下： （1-a ）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3） （1-a ）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和式. （1-a ）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 最后在等两边同时除以（1-a ）, 就可以得到S 的通公. 例子:求和Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x 的n-1次方（x 不等0） 当x=1时,Sn=1+3+5+…..+(2n－1)=n^2;; 当x 不等于1时,Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x 的n-1次方 所以xSn=x+3x^2+5x^3+7x四次方……..+(2n-1)·x 的n 次方 所以两式相减(1－x)Sn=1+2x(1+x+x^2+x^3+...+x的n-2次方) －(2n-1)·x 的n 次方. 化简得：Sn=(2n-1)·x 地n+1次方－(2n+1)·x 的n 次方+(1+x)/(1-x)平方 Cn=(2n+1)*2^n Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n 2Sn=3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1) 两相减得 -Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1) =6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1) =6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和) =(1-2n)*2^(n+1)-2 以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2 错相减法 这个在求等比数列和公式时就用了 Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n 两边同时乘以1/2 1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式位置

【word】 高中数学教学中全错位排列数公式的探索

高中数学教学中全

2011年第1l期金色年华理论研究

--_JL_一

C=】

同中数学教学中错位排列数公式

王小兵

(江苏省句容市第三

一

,日常生活中

题一4名同学各写了一张片,先收集在一起,然后

拿一张别人写的卡,则四卡片的不同分发方式共

题二将编号为a,b,C,d

的四个袋子中,要求个袋放一个小球,且小球的编

编号不能相同,则有多少种不同的

以上问题都是元素都不自己相同编号的位置上

题,我们把带有这限制条的排列问题叫做全错位

题三五位同学坐在一排,让五位同学重新坐,至多

学坐自己原来的位置,则不同的坐法有——种.

题三可以

第一种情况,所有学都不坐自己原来

第二种情况,恰有一同学坐自己原来的

第三种情况,恰有两同学坐自己原来

对于第一种情况,就是以

二,第三种情况有部元素占有原来的位置,其余元

为全错位排列问题,我们把种排列问题为部分错位

设n个元素全错位排列的列数为T,则对于题三,

况排列数为T5,第种情先确定一个排原来位置的同

能,其余四个同学全

三种情况先确定两个原位同学,有C=10种,所

况的排列数为10T,,因

由于生活中很多这样的问,所以我们有必要探索

全错位排列

二,全错位排

(1)一般地,若有17

素a.,a2a,……a…,,…,.dn,排列在一排,而且每个

与它编号相同的位置,这样的

T=(n-1)(T+T一:),(n?3).

f2)确

对于n=l,2时显

当n?3时,在n不同元中任取一个元素ai不

号相对应的第i位,排在剩

有n—1种排列方法.

对ai每一种排列方法,如ai排在j位,对应j位的元素ai的排列

位置总

第一种情况:恰好排第i位上,如图

123…i…j…n

表(I)

此时+ai排在j位,在i

素,每个元素均有个不能的位置,它们的排位问

n_2个元素全

第二种情况:aj

123…i…j…n

@

与此同时,ai仍排在j位,aj不排在i位,则aj有n—1个

除aj外,还有n一1元素,每个元素均有一个不能排的位

转化为n—1个元素错位列,排列数为T由乘法原

理可以得出:Tn=(n一1)(.r.卜.+Tn-5),(n?3).

根据上面递推关系可分别算T4=9,T,=44,所

案应该为44+5×9+10×2=109.

三,全错位排

f1)

规定珏=1(n?N),试计算以下各

(1)一+4;

(2)

(3)一+一+.

不难计算三式的值依为9,44,265.而这与利用

关系式得到的n,B,刚好一样,即

T4一+;

B一十;一;

To=A~一++.

(2)

根姑上面的探索,我IJ猜想n个兀系全错位排列

To=4一.+-?.+(--l(n?2)()

为了比较容易看出其质,们对这个式子进行变形整

Tn=一A,7+…-+(一l

簧一+??-+c—t,一

n=2,3日

假设n=k,k-1时()式成,则当n=k+l时,有前面

式可得:

Tk+I=kr]+Tt—I)

砌[t+一一17?f?-+(,?志】

=-

?-1一1+

!?一可k+l+?”

+小(一旷,II,一l,,’r

等一等+”?+(-t-t?’(,17-}寺

=?

[一+..I十f??’??’r0l,,}一lc’,’,』I,

:一+…删?丽k+l(鼢t).(-1)]

:?}?

.

?

.

n=k+l时()式仍然成立.

从卜寸辑可知个亓素今错

2011年第l1期金色年华教学交流

英语学

一

有感于牛

李志芬

(四川省宜宾市江安县留

英国语言学家指出:”Dived兴趣是让你驰向成功

膀”,提高语言能力,要培和激发学生的学习动机和兴

生参与课堂活动的意.使们变”厌学”为”乐学”.

的教师,是激励学生分发

成功的巨大动力.新课程求我们去适应学生,而

适应老师.

牛津英语语言丰富,综合力很强.它以语言结构

交际能力的培养作为主线贯始终,把教育思想和教育

一

体,不但教学生语结构,

语言来学习语言,使语教

UNIT3它介绍了8年级l的学生去北京世界公园欣赏

了解世界名胜.第节课,我是这样

Step1通过Eddie与Hobo这两个卡通人物有趣的

热身,讽刺了Eddie的好吃懒

Discuss:Whathillisthis?

WhydoesEddiewanttoclimbthehill?

Step2让学生表,各扮演一定的角色,进行会话

“惟妙惟肖”的演技得大捧腹大笑.这种新鲜感,吸

都有一种跃

Step3因为刚过国,所以请同学回答下

WheredidyougoonNationalDay?

Howdoyoulikeit?

同学们的讨论非常烈,回答也非常

1wenttOSuZhouO13-NationalDay.Itisabeautifulandmodern

city.

Istayedathome.Itisboringbecauseofthecoldweather.

1wenttoseemygrandparentswithmyparents.Wehada

wonderfultime.Wearehappy.

接着问:

HaveyoubeentotheGreatWallthePalaceMuseum?

HaveyouheardofAustralia?Doyouknowitsinterestingplaces?

DoyouknowtheEifferTower?

讨论更加热烈,虽然有些题他们用中文回答,但同

他们积极参与的热情及祖国的热爱,对新生活

Step4利用PPT向他们

Tower,theWhiteHouse,theRiverSeine,theHarbourBridge,the

OpearHouse,theGreatWall,tIlePalaceMuseum.thePyramids……

一

幅幅精彩,漂亮的画面,深地吸引了他们.一张

脸,一双双对知识望的眼同样也感染了我对教学

他们用英语介绍了些着名筑物的历史,这样既加

听力的能力,也激发同学学英语的兴趣,动力.鼓

,努力去学英语,去解,去探索世界

Step5把这些名与他所在国家配对连线,找出

考他们,让他们说出这国家的

Jintao,Chirac,Bush,Blairetc.

Step6进行悄悄游戏,每组选派8个学生,将着名

或城市名轻轻说给一位学听,在最短的时问内将

从第一名学生传到后一名生的小组获胜.游戏在

下面的同学也默默地为自己组的同学

最后,告诉学生,虽然我们在不能去澳大利亚,法

等.但在北京世界公有仿建筑物,那里有50多个国

大家可以从网上去查,尽

北京,去世界公园,香山,去故宫好不好?好!大家齐

师你买单.

课后,我既沉浸于节课带的成功快感,又进行了

f1’么是以学生为体?不仅仅是一句口号,是我们

必须践行的真理.学定教教学经验积淀中的一面

多时候我们似乎还在走以定学的老路,硬拽着学

教师设计好的轨道运行,

累,教师教得疲惫.课程念下的课堂应是学生主宰

为教师就应舍得打精心策的教学预设,随机应变

情况作出富有吸引的教学控,给学生安于常道的

去冲击波,让学生的维随调动,从而真正提高教学

正是新课程所倡导的:一切

的学生.2,什么是教师主导?通过这次教学,我

点:教学需要调剂,学需新意,不经意间的一些出乎

花招”,能为教学带精彩花絮.兴趣是学生思维永

障,所以,作为教师紧紧住学生兴趣的线,用自己

出灵活多样的教学策,放出学生鲜活,灵动的生命

魅力.

让兴趣成为风筝线,让

吧!我愿做个尽

(上接

驴一+-?+(-

:,一夏I+?-+(一1)去】《n?2)一

四,全错位排列

由T=l,B=2,T4=9,T5=44,T,=265

T]=3T2—1;

=4T3+1;

1; =5T4—

T6=6T5+1

于是猜想得Tn=nTn一1+.

证明:由上面已经证的全错位排列数公式

右边=-(一E刍一圭十

=一!{一圭+--+(一i],(?一

i4一

,一

未+?’+(一l去左边

所以有Tn=nTn一1+(一1)”.

五,综上所述

在解决排列组合的问题时,常常涉及到全错位或者

的排列问题,在元素是很的时候,我们可用分类讨

对问题进行分类讨,但当素比较多时讨论起来非

如果掌握了全错位排列数的个通项公式和两个递推关

我们解决这样一类题将带来很大的

@

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