矩阵的伴随矩阵
- 作者: 亖呉?盀
- 来源: 数月亮
- 2019-05-30
第12卷第3期纺织高校基础科学学报Vo!.12,No.3
1999年9月BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSrrII~sept.,1999
*教学研究*
矩阵的伴随矩阵
史延峰,
摘要分析了矩阵的伴随矩阵的性质,结论厦其在线性代数中的应用
关键词伴随矩阵逆矩阵矩阵行列式转置特征值,’一’_-,一一…,_一?_-_一
中图分类号O151.21
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矩阵的伴随矩阵是一个十分重要的概念.对于它的一些性质的推证,涉及到线性代数中
许多基本的概念与方法.本文作者归纳,总结了伴随矩阵的性质.
1…‰]fA…AI_
设A—lil是一个阶实矩阵,称A’=Il是方阵A的伴随矩
…‰J…J
阵,其中A是方阵A的元素日对应的代数余子式.
定理1”阶方阵A可逆的充要条件是方阵A的行到式不等于零,即IAI?0,且A一
(1/lA1)?A.
此定理解决了”阶矩阵A可逆的必要条件,而且说明矩阵A的逆矩阵是由A来确定的,
更有效的是,此定理还给出了A的逆矩阵的构造方法,这在理论上是非常重要的.
研究矩阵,秩是lAlE一0,知A的列向量都是方程
组AX一0的解.由于R(A)=“一1,AX一0的解向量组的秩为(“一(“一1))一1,知A.
的列向量组的秩为1,即列秩为1,故R(A)一1.(证毕)
?
西安工业学院基础部.710032t西安市垒花北路4号.史廷峰.男+35岁.讲师
收稿日期:1998—12—16
278纺织高校基础科学学报第12卷
由上所述,A与A同时可逆与不可逆-进一步,(A).]一{0R(A)<扎
性质1若A—A,(A)一A.
性质2lAl—lA.
证明当lAl?0时,lA-Al一!lAlEl—lA1”,所以lAl—lAl一;当lA1=
0时,lAl一0,因此lAl—jA1一.
性质3设五为常数,()一…A,(一A)一(一1)’A.
1
性质4当A可逆时,(A)=(A):A一
证明由AA=la1.E(A)_.=A?A-I(A_.)=la_.lE,该式左乘A,得
(A)一IAl?A一1/lAl-A.
性质5(A)一lAA.
证明当IAl一0时,(A’)’]一0,(A’)=0,(A)=lAl一A.
当lA/)(A’+…
+dn一)一A’,故A’=(一1).(A+…+dn一E).
*'>矩阵的伴随矩阵A*
摘 要： 伴随矩阵是一个重要的概念，它是在讨论矩阵可逆的充分必要条件时引入的，在矩阵的运算和应用中起到非常重要的作用.通过研究伴随矩阵与逆矩阵的关系，可以推导出方阵的逆矩阵的计算公式，从而解决方阵求逆的问题.同时，伴随矩阵的性质也相当重要.本文主要从伴随矩阵的定义及构成、伴随矩阵的性质及其应用和特殊矩阵的伴随矩阵的性质三个方面介绍了伴随矩阵的相关知识.
关键词： 伴随矩阵 逆矩阵 转置矩阵 伴随矩阵的行列式和秩 伴随矩阵的特征值
1.伴随矩阵的定义及构成
1.1伴随矩阵的定义
①注意是代数余子式而不是余子式，也就是说，每一项都必须考虑所带的符号；
1.3求逆矩阵的方法之一——伴随矩阵法
③该法主要用于逆矩阵或伴随矩阵的理论推导上，但对于阶数较低（一般不超过三阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求逆矩阵.
注：①本例说明了伴随矩阵法对于求二阶矩阵的逆矩阵是非常方便的.
②由本例还可以总结出求二阶矩阵逆矩阵的“两调一除”的方法，即将A中主对角元素调换其位置，次对角元素调换其符号，然后将各元用去除，即得的逆矩阵.
注：由行列式的按行展开原理，直接计算可得到上述基本关系式，该公式基于行列式的展开原理，和矩阵的具体性态无关，所以对于任意矩阵，这个公式总是成立的.这是讨论有关伴随矩阵的一切问题的基本出发点.
3.特殊矩阵的伴随矩阵的性质
3.1三个特殊矩阵的概念
下面先给出对称矩阵、正交矩阵、矩阵的合同的定义.
3.2特殊矩阵的伴随矩阵的性质及其证明
参考文献：
[1]陈治中.线性代数精讲精练[M].北京：北京师范大学出版社，2006：24，37，47-48，52，58-59，81-83.
[2]孙红伟.伴随矩阵性质的探讨[J].高等函授学报（自然科学版），2006，（03）.
[3]肖翔，许伯生.伴随矩阵的性质[J].上海工程技术大学教育研究，2007，（03）.
矩阵的伴随矩阵
纺织高校基础科学学报990305
纺织高校基础科学学报
BASIC SCIENCES JOURNAL OF
TEXTILE UNIVERSITIES
1999年 第12卷 第,期 Vol.12 No.
, 1999
矩阵的伴随矩阵
史延峰
摘要 分析了矩阵的伴随矩阵的性质、结论及其在线性代数中的应用. 关键词 伴随矩阵 逆矩阵 矩阵行列式 转置 特征值 中图分类号 O 151.21
矩阵的伴随矩阵是一个十分重要的概念.对于它的一些性质的推证,涉及到线性代数
中许多基本的概念与方法.本文作者归纳、总结了伴随矩阵的性质. 设 是一个n阶实矩阵,
称
*A= 是方阵A的伴随矩阵,其中A是方阵A的元素a对ijij 应的 代数余子式.
-n阶方阵A可逆的充要条件是方阵A的行列式不等于零,即|A|?0,且A定理1
.*1=(1/| A|)A.
此定理解决了n阶矩阵A可逆的必要条件,而且说明矩阵A的逆矩阵是由A来确定的,
更有效的是,此定理还给出了A的逆矩阵的构造方法,这在理论上是非常重要
的.
研究矩阵,秩是它的重要特性.若以R(A)表示矩阵A的秩,则有以下结论: 定理2 设A是n阶方阵,则
*(1) 当R(A)=n时,|A|?0,由AA=|A|E证明
*n*n*n-知,|AA|=|A|?|A||A|=|A|,|A|=|A|
万方数据file:///E|/qk/fzgxjckxxb/fzgx99/fzgx9903/990305.htm:第 1,3 页:2010-3-22 19:16:39
纺织高校基础科学学报990305
1*?0,故R(A)=n.
*(2) 当R(A)，n-1时,A的第一个元素A都是零,因为A没有不为0的n-1阶子式,ij
*故(A)
=0.
**(3) 当R(A)=n-1时,|A|=0,所以,AA=|A|E=0,知A的列向量都是方程组AX=0的解.
*由于 R(A)=n-1,AX=0的解向量组的秩为(n-(n-1))=1,知A的列向量组的秩为1,即列秩
*为1,故R (A)=1.
(证
毕)
*由上所述,A与A同时可逆与不可逆.进
一
步,
**若A=A,(A)=A.性质1 TT *n-1|A|=|A|. 性质2
*n*n-1*当|A|?0时,|A*A|=||A|E|=|A|,所以|A|=|A|;当|A|=0时,|A|=0,因此证明
*n-1 |A|=|A|.
***n-1n-设k为常数,(kA)A=k,(-A)=(-1)性质3
*1A.
*-1-当A可逆时,(A)=(A性质4 A.
*1)=
*.*-1-1-1*-1-1-由AA=|A|E (A)= A.A(A)=|A|E,该式左乘A,得(A)=|A证明
..1| A=1/|A|A.
.**n-2 (A)=|A|A.性质5
******n-证明 当|A|=0时,R,:A),=0,(A)=0,(A)=|A|
2A.
.****.***.*-1n-n-2 当|A|?0时,因为(A)(A)=|A|E,所以(A)=|A|(A)=|A|A=|A|A.
. 2
**性质6 (A)=(A).** TT证明 设A={a},A=,A,,因为(A)中的第i行,第j行元素为(i,j=1,2, , ijn×nijn×nT
A* ijn),(A)中的第i行,第j列元素亦为A,所以两者相Tij
等.
***性质7 (AB)=BA.
.-1-1-1当|A|?0,|B|?0(AB)= BA;而 证明
*时,(AB)=
..-1**.-1*** BB*A= A,所以(AB)=BA.当|A|=0,|B|=0时,等式也成
立.
万方数据file:///E|/qk/fzgxjckxxb/fzgx99/fzgx9903/990305.htm:第 2,3 页:2010-3-22 19:16:39
纺织高校基础科学学报990305
****A A 推论 (A,A,. ,A)=A 12nn n-1 1
*性质8 若A是正定的,那么A也是正定
的. *****证明 A是正定的,故存在可逆矩阵P,使(PAP)=E,(P)*A(P)= TT
PAP=E,*** *T(P)A(P)=E,所以A也是正定的. T
*性质9 设A为n阶反对称方阵,则当n为奇数时,A是对称方阵;而n为偶数*时,A是反 对称方阵.
*n-1****n-1*证明 A,A=-A,所以(A=(AA.当n为奇数(-A)=(-1)))=(-A)=(-1)TTT
*时,(A)* *=A;当n为偶数时,(A)=-TT
*A. 性质10 若A是非奇异的,即|A|?0,λ?0是其特征值,X是A的属于λ的特征向*-1*-1量,那 么A的特征值为λ|A|,X是A的属于特征值λ|A|的特征向量.
***事实上,AX=λX,左乘A,得AAX=λAX,故
**性质11 设n阶方阵A是可逆的 ,那么A可表示为A的多AX=(1/λ)|A|EX=(1/λ)|A|X.
项式. λ+a.因A可逆,所+a证明A是特征多项式为f(λ)=|λΕ-n-1n
nn-1以+aλ+ n A|=λn-1n-21a=(-1)|A|?0.由哈尔顿-凯莱定理知f(A)=0,即+aA+aE=0,故-(1/a)(A+aA nn-1nn1nA+ *n-**n-1n-1+ +aE).+aE)A=E.右乘A,得-(|A|/a)(AE)=A,故A=(-1)(A+ +an-1 n-1nn-1
1+
万方数据file:///E|/qk/fzgxjckxxb/fzgx99/fzgx9903/990305.htm:第 3,3 页:2010-3-22 19:16:39
一种求伴随矩阵的方法
一种求伴随矩阵的方法
辛轶
( 福建师范大学 数计学院，福建 福州 350007 )
* 摘 要:首先证明了如果秩(A) = n - 1，则伴随矩阵 A可以通过线性方程组 AX= 0 的基础解系表达，然后给出一 种计算 n 阶伴随矩阵方法。
关键词:矩阵;初等变换;伴随矩阵;齐次线性方程组
A Method for Showing an Adjoint Matr ix
XIN Yi
( School of Mathematice and Computer Science, Fujian Normal University, Fuzhou 350007, China )
* Abstr act: In this paper, it is shown that the adjoint matrix Aof a n ×n matrix A with rank (A) = n - 1 can be defined by a basis of the solution space for the homogeneous system AX = 0, and then a method for showing the adjoint matrix is given.
Key wor ds: matrix;elementary transformation;adjoint matrix;homogeneous linear equation system
* * A= (k!, k", , k#) 设 A = (a )是数域 K 上的 n 阶方阵。用 A表 12nij
* 2 示 A 的伴随矩阵。我们知道，矩阵A 是由 A 中 n 其中 $ 是齐次线性方程组A X = 0 的一个基础解
个代数余子式 A构成。因此求伴随矩阵，涉及到 ij 系，k是 %x = (A, A, , A)' 的解，i = 1,2, ,n 。 i i 1i 2in2 n 个 n - 1 阶行列式的计算。特别在 n 较大时，这 * 证 由引理 2，秩(A) = 1，并且齐次线性方程组种计算工作量是很大的。本文提供一种较为简便 AX = 0 的解空间也是 1 维，因此设 & 是其一个基， 的计算方法。 * 那么 A中每一个列向量都是 ’ 的线性组合，故可
* 下面引理是一些准备，它们都可以在一般的 得 A= (k, k, , k)，从而 k+ = (A, A, , A)'。 ()*12nii 1i 2in
《高等代数》习题中找到，比如文[1- 3]。 由于解线性方程以及求逆矩阵的方法都可用
记录法进行，因此求伴随矩阵也可通过记录法求 * *引理 1 AA= AA = A I ，其中 I 表示单位 得。方法详解如下:矩阵。 (1)构造 n ×(2n )阶矩阵( A|I )，其中 I 是 n 阶
单位矩阵，只进行行的消法或互换两行的初等变 n , 当秩(A) = n! # 换，如果秩(A)%n - 1，则经过上述要求的行初等变 *引理 2 当秩(A) = n - 1 秩(A) = 1," #换得到如下形式 当秩(A)! n - 1 0,$
如果 n 阶方阵 A 可逆，即秩(A) = n ，由引理 1， * 0 | * * d0* 伴随矩阵 A的计算可转化为 A 的逆阵计算;如果 &)1 * *’ 0 | * * d* 0 秩(A)! n ，则 A= 0，因此不存在复杂计算问题。 2( A|I )? ’ *0 | 定理 1 如果秩(A) = n - 1，则 ’ *d| * * 0 * 0 n ( +
收稿日期:2007-06-12
2007 年 10 月 莆 田学院学 报102
或如下形式(某个i ) 12 3 ! $ * 1 例 2 求方阵 A = 2。1 的伴随矩阵 A( A|I )? %"
34 3 # &c0 0 0 | * 0 * d * 1$ !1 1 2 3 | 1 0 0 1 2 3 | 1 0 0 $$!!"%0 0 | * * 0 0 d * c 22解 2 1 1 | 01 0 ?0 - 3 - 5 | - 2 1 0 % " %% ""| % 303 4 | 0 0 1 0 0 | - 1 - 1 " # & # 1 & 0 | * %d c* 0 0 * ii0 因此只须解线性方程组 AX = 0 的基础解系， %" 0 | * 0 * 0* 0 0 0 "% 而这只须继续上述矩阵的初等变换 " 0 | * d0 c* 0 * i+2 i+20 % 1 !$ % "| 1 0 - " % 1 2 3" 3 % " ! $0 c00 d| * * 0 * n n # & % " 5 0 - 3 - 5 ? %"0 1 " % 3 (2)由于 |A|=ddd，所以当每一个 d?0 时， 12 ni & 0 0 0 #" % 00 0 * - 1* #&A= dddA;(如果至少有两个d = 0，则 A= 12 n i
" 所以 = (1,- 5,3)' 是 AX = 0 的基础解系。又 A= 1, 11 0)。
A= 1, A= - 1，故 (3)如果秩(A) = n - 1，则 AX = 0 的基础解系是 21 31
1 1 - 1 $!' c c ccc12ni i+2 , , , ,- 1, ,, * 。! = ( ) A = (k#, k$, k%) = - 5 - 5 5123 "% ddddd 1 2 ii+2n3 - 3 3 #& 1 - 1 2 $!*例 1 求方阵 A = 2 1 1 的伴随矩阵 A。% " 参考文献:#&0 3 1
[1] 丘维声. 高等代数[M]. 2 版. 北京:高等教育出版社， 1 7 1 !$1 0 0 | - - 2004. 6 12 4 % "1 - 1 2 | 1 0 0 $!" % [2] 张禾瑞，郝炳新. 高等代数[M]. 3 版. 北京:高等教育出 1 3 2 1 1 | 0 1 0 ?解 1 %"0 | - 0 3 "% 版社，1986. 2 4 4 #0 3 1 | 0 0 1 & "% [3] 陈昭木，陈清华，王华雄，等. 高等代数[M]. 福州:福建教 2 - 1 1 4 | 0 0 #& 育出版社，1990. - 2 7 - 3 $!* - 1 所以 A= 12A= - 2 1 3 "%
#6 - 3 3 & [ 责任编辑 林振梅 ]
*******************
to evaluating the risk of Fannie Mae and Freddie (上接第 24 页)
53 (1): Mac[J]. Journal of Monetary Economics, 2006, [6] Lando, David. On cox processes and credit risky
155- 176. securities[J]. Derivatives Research, 1998, 2:99- 120.
[11] G M Goldberg, J P Harding. Investment characteristics [7] Schwartz, S Edwardo, N Torous. Prepayment and the
of low- and moderate-income mortgage loans [J]. valuation of mortgage backed securities [J]. Journal of
Journal of Housing Economics, 2003, 12(3):151- 180. Finance, 1989, 44:375- 392.
[12] Cochrane, J Peter. Modeling Default Risk (KMVLLC), [8] R C Merton. An analytic derivation of the cost of
deposit insurance and loan guarantees[J]. Journal 1999 [J/OL]. [2007-03-16]. http: www.defaultrisk. of
Banking and Finance, 1977, 1:3- 11. com/pp\_model\_35.htm.
[13] M Vassalou, Y H Xing. Default risk in equity returns [9] R C Merton. A model of contract guarantees for
[J]. The Journal of Finance, 2004, 2:831- 868. credit-sensitive, opaque financial intermediaries [J].
European Finance Review, 1997, 1:1- 13.
[10] D Lucas, R L McDonald. An options-based approach 林[ 责任编辑 锋 ]
伴随矩阵的原矩阵
第28卷第2期 唐山师范学院学报 2006年3月 Vol. 28 No.2 Journal of Tangshan Teachers College Mar. 2006
杜少飞1，王彩卓2
（1.首都师范大学 数学系，北京 100037；2.湘潭大学 数学与计算学院，湖南 湘潭 411105）
摘 要：给出了复数域上一个n阶矩阵存在原矩阵的一个充要条件，讨论了伴随矩阵的原矩阵的存在性。 关键词：伴随矩阵；原矩阵；矩阵的秩；矩阵的逆
中图分类号：O15 文献标识码：A 文章编号：1009-9115（2006）02-0001-02
本文涉及的矩阵都是复数域上的n阶矩阵。对于任一n阶矩阵
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秩?=?í1,
?????0,
当秩A＝n时
当秩 A＝n-1时 当秩A＜n-1时；
（5）设A，B为任一矩阵，则(??)*=?*?*。 首先容易看出，对于任意的n阶矩阵B，不一定有原矩阵A存在。例如，当1
定理1 当秩B＝n时，B有n-1个原矩阵
都有一个唯一确定的伴随矩阵
??11
?????12*
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???÷÷÷÷÷?2n??nn?÷÷
与之相对应，其中?ij为A中元素aij的代数余子式。我们称A为伴随矩阵?*的一个原矩阵。
如所周知，对于一个给定的矩阵A，不仅其伴随矩阵的存在唯一性是确定的，而且由于aij的各个代数余子式?ij都有完全确定的求法，确定A的伴随矩阵也是没有问题的。原矩阵的概念引入之后，随之而来的问题是：（1）对于任一n阶矩阵B，是否都存在一个原矩阵A？又如果存在原矩阵，原矩阵到底有多少个？（2）若已知一个矩阵A有原矩阵，怎样确定A的原矩阵，即如何通过计算求得原矩阵？以下我们就来回答这些问题。
以下几个简单的事实是众所周知的。
引理 （1）设A为任一n阶矩阵，?*为A的伴随矩阵，那么有A?*=?*A=?E，其中E为n阶单位矩阵；
（2）若A是一个可逆矩阵，则?*=??-1； （3）若A为n阶方阵，则?*=?
n-1
?=?i?-1,i=1,2,?,n-1，其中?i是?的所有n-1次方根。
证明：设秩B＝n且有原矩阵A。那么由引理2，知
?=??-1。由引理（3）知，?=?
n-1
，即?=。
设?的所有n-1次方根?1,?2,?,?n-1，则有
?=?i?-1,i=1,2,?,n-1.
定理2 当秩B= 0 时，B有无穷多个原矩阵。 证明：设秩B＝0，即B＝0。由伴随矩阵定义和引理（4）易知，对于一个n阶矩阵，当且仅当它的秩小于n-1时，它的伴随矩阵为零矩阵。所以，当秩B＝0时，所有秩小于n-1的矩阵A都是B的原矩阵。而在复数域内秩A
定理3 当秩B=1时，B有无穷多个原矩阵。 证明：设有复数域上n阶矩阵B，n>1，秩B=1。则存在复数域上满秩矩阵T，使得
?1?÷?÷?÷?÷0?÷-1?÷。 ???=?÷÷??÷?÷?÷?÷?0è÷??÷
；
（4）设A为任一n阶矩阵，?*为A的伴随矩阵，那么有
──────────
收稿日期：2005-11-08
作者简介：杜少飞（1964-），山西定襄人，首都师范大学数学系教授，博士生导师，研究方向为群论与代数组合论。 - 1 -
第28卷第2期 唐山师范学院学报 2006年第2期
由定理1，有?=(?i?-1)*，其中?i为?的n-1次方根1≤i≤n-1，且易知
所以，由引理（5）知
é?0ù?÷ê?ú÷?÷ê??1ú÷÷-1ú?÷?=êê???=?*。 ÷ú÷??÷úê?÷÷úê???1÷÷?ê?è?÷ú?
?0?÷?÷?÷?÷1?÷?÷?-1即为B的原矩阵。 于是?=??÷??÷÷?÷?÷?÷?1è÷??÷
*
?0??1?÷÷??÷÷??÷÷??÷÷01???÷÷??÷÷， =??÷÷÷÷????÷÷??÷÷??÷÷??÷÷??01è÷?÷è???÷nxn÷其中?部分可以是任意的复数安排。于是
*
?0?÷?÷?÷?÷?11÷-1*??÷(?)* ?=(?i?)?÷÷???i÷?÷?÷??1÷÷è??÷?0?÷?÷?÷?÷?11÷n-1-1*??÷n1?*。 =?i(?)?÷÷???i÷?÷?÷??1÷÷è??÷
*
*
显然，由?及T的可变性（注意，对任?10,??亦可作为T）即知原矩阵有无穷多个。
综上，我们一方面得到了一个n阶复数矩阵存在原矩阵的条件，即：n阶复数矩阵B存在原矩阵当且仅当B的秩为n,1或0；另一方面，对原矩阵存在的情形，我们还给出了求原矩阵的具体方法。
参考文献：
[1] 张禾瑞,郝丙新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1986. [2] 杨子胥.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1990.
[3] 普罗丝库列柯夫.线性代数习题集[K].北京:人民教育出版社,1982. [4] 白述伟.高等代数选讲[M].黑龙江:黑龙江教育出版社,2000.
Original Matrix of an Adjoint Matrix
DU Shao-fei1, WANG Cai-zhuo2
(1.Mathematics Department, Capital Normal University, Beijing 100037, China; 2. Mathematics Department, Xiangtan University, Hu’nan Xiangtan 411105, China)
Abstract: This paper discussed a sufficient condition for the original matrix of a n×n matrix to exist in the complex locale, and the existence of the original of matrix of the adjoint matrix.
Key words: adjoint matrix; original matrix; rank of a matrix; inverse of a matrix
责任编辑、校对：陈景林
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